ระบบจำนวนจริง

จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
		เขียนแทนด้วย 0.5000...
		เขียนแทนด้วย 0.2000...
• ระบบจำนวนตรรกยะ
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม
• ระบบจำนวนเต็ม
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่ I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่ I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่ N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...}
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
	x2 = -1	∴ x = √-1 = i
	x2 = -2	∴ x = √-2 = √2 i
	x2 = -3	∴ x = √-3 = √3 i
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)

สมบัติของจำนวนจริง • สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติการสะท้อน a = a

2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a

3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc

• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง

กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c

4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก

5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a

นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก

• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c

4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1

นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ

5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
6. สมบัติการแจกแจง
a( b + c ) = ab + ac
( b + c )a = ba + ca
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
ทฤษฎีบทที่ 1	กฎการตัดออกสำหรับการบวก
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
	ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 2	กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
	เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
	ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
ทฤษฎีบทที่ 3	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a · 0 = 0
	0 · a = 0
ทฤษฎีบทที่ 4	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	(-1)a = -a
	a(-1) = -a
ทฤษฎีบทที่ 5	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
ทฤษฎีบทที่ 6	เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a(-b) = -ab
	(-a)b = -ab
	(-a)(-b) = ab
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น
• การลบจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
	a- b = a + (-b)
	นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
• การหารจำนวนจริง
บทนิยาม	เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
	= a(b-1)
	นั่นคือ คือ ผลคูณของ a กับอินเวอร์สการคูณของ b

การแก้สมาการตัวแปรเดียว

บทนิยาม	สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
	anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
	เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
ตัวอย่างเช่น	x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
	4x2 + 4x +1 = 0
	2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
	การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
	นั่นคือ เศษของ คือ f(c)
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
	ถ้า f(c) = 0 แล้วเศษของ คือ 0
	แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
	นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
	โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
	ถ้า x -เป็นตัวประกอบของพหุนามของ f(x) โดยที่ m และ k เป็นจำนวนเต็ม

	ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
	(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
	(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
	ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
	1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
	f() = 0 ตามทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
	2. นำ x - c หรือ x - ที่หาได้ในข้อ 1. ไปหาร f(x) ผลหาร
	จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
	3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 1	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
	∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
	∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ = x2 - x - 2
	x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
	= (x-1)(x-2)(x+1)
	x3 - 2x2 - x + 2 = 0
	(x-1)(x-2)(x+1) = 0
	x = 1, 2, -1
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 2	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
	∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
	∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
	= (x-1)(x-3)(x-6)
	x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
	(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
	x = 1, 3, 6
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
-------------------------------------------------------------------
ตัวอย่างที่ 3	จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
วิธีทำ	ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
	∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
	= 27 - 9 - 15 - 3
	= 0
	∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
	∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
	= (x-3)(x+1)(x+1)
	x3 - x2 - 5x - 3 = 0
	(x-3)(x+1)(x+1) = 0
	x = 3, -1
	∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}