
จากแผนผังแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนข้างต้น จะพบว่า ระบบจำนวนจริง จะประกอบไปด้วย
| ||
1. จำนวนอตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่ไม่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม หรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น √2 , √3, √5, -√2, - √3, -√5 หรือ ¶ ซึ่งมีค่า 3.14159265...
| ||
2. จำนวนตรรกยะ หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็มหรือทศนิยมซ้ำได้ ตัวอย่างเช่น
| ||
เขียนแทนด้วย 0.5000...
| ||
เขียนแทนด้วย 0.2000...
| ||
• ระบบจำนวนตรรกยะ
| ||
จำนวนตรรกยะยังสามารถแบ่งเป็น 2 ประเภท คือ
| ||
1. จำนวนตรรกยะที่ไม่ใช่จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่สามารถเขียนให้อยู่ในรูปเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำได้ แต่ไม่เป็นจำนวนเต็ม ตัวอย่างเช่น
| ||
2. จำนวนเต็ม หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ...} เมื่อกำหนดให้ I เป็นเซตของจำนวนเต็ม
| ||
• ระบบจำนวนเต็ม
| ||
จำนวนเต็มยังสามารถแบ่งได้อีกเป็น 3 ประเภทด้วยกัน
| ||
1. จำนวนเต็มลบ หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I - โดยที่
I - = {..., -4, -3, -2, -1} เมื่อ I - เป็นเซตของจำนวนเต็มลบ | ||
2. จำนวนเต็มศูนย์ (0)
| ||
3. จำนวนเต็มบวก หมายถึง จำนวนที่เป็นสมาชิกของเซต I+ โดยที่
I+ = {1, 2, 3, 4, ...} เมื่อ I+ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก | ||
จำนวนเต็มบวก เรียกได้อีกอย่างว่า "จำนวนนับ" ซึ่งเขียนแทนเซตของจำนวนนับได้ด้วยสัญลักษณ์ N โดยที่
N = I+ = {1, 2, 3, 4, ...} | ||
• ระบบจำนวนเชิงซ้อน
| ||
นอกจากระบบจำนวนจริงที่กล่าวมาข้างต้นแล้ว ยังมีจำนวนอีกประเภทหนึ่ง ซึ่งได้จากการแก้สมการต่อไปนี้
| ||
x2 = -1
|
∴ x = √-1 = i
| |
x2 = -2
|
∴ x = √-2 = √2 i
| |
x2 = -3
|
∴ x = √-3 = √3 i
| |
จะเห็นได้ว่า “ไม่สามารถจะหาจำนวนจริงใดที่ยกกำลังสองแล้วมีค่าเป็นลบ” เราเรียก √-1 หรือจำนวนอื่นๆ ในลักษณะนี้ว่า “จำนวนจินตภาพ”และเรียก i ว่า "หนึ่งหน่วยจินตภาพ" เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ i
| ||
ยูเนียนของเซตจำนวนจริงกับเซตจำนวนจินตภาพ คือ " เซตจำนวนเชิงซ้อน " (Complex numbers)
|
สมบัติของจำนวนจริง • สมบัติการเ่ท่ากันของจำนวนจริง |
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
|
1. สมบัติการสะท้อน a = a
|
2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
|
3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
|
4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
|
5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc
|
• สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
|
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
|
1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง
|
2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
|
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
|
4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0
|
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก
|
5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
|
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก
|
• สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง
|
กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ
|
1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง
|
2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
|
3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
|
4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1
|
นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ
|
5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0
| ||||
นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0
| ||||
6. สมบัติการแจกแจง
| ||||
a( b + c ) = ab + ac
| ||||
( b + c )a = ba + ca
| ||||
จากสมบัติของระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้ว สามารถนำมาพิสูจน์เป็นทฤษฎีบทต่างๆ ได้ดังนี้
| ||||
ทฤษฎีบทที่ 1
|
กฎการตัดออกสำหรับการบวก
| |||
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
| ||||
ถ้า a + c = b + c แล้ว a = b
| ||||
ถ้า a + b = a + c แล้ว b = c
| ||||
ทฤษฎีบทที่ 2
|
กฎการตัดออกสำหรับการคูณ
| |||
เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ
| ||||
ถ้า ac = bc และ c ≠ 0 แล้ว a = b
| ||||
ถ้า ab = ac และ a ≠ 0 แล้ว b = c
| ||||
ทฤษฎีบทที่ 3
|
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
| |||
a · 0 = 0
| ||||
0 · a = 0
| ||||
ทฤษฎีบทที่ 4
|
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
| |||
(-1)a = -a
| ||||
a(-1) = -a
| ||||
ทฤษฎีบทที่ 5
|
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
| |||
ถ้า ab = 0 แล้ว a = 0 หรือ b = 0
| ||||
ทฤษฎีบทที่ 6
|
เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ
| |||
a(-b) = -ab
| ||||
(-a)b = -ab
| ||||
(-a)(-b) = ab
| ||||
เราสามารถนิยามการลบและการหารจำนวนจริงได้โดยอาศัยสมบัติของการบวกและการคูณใน
ระบบจำนวนจริงที่ได้กล่าวไปแล้วข้างต้น | ||||
• การลบจำนวนจริง
| ||||
บทนิยาม
|
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ
| |||
a- b = a + (-b)
| ||||
นั่นคือ a - b คือ ผลบวกของ a กับอินเวอร์สการบวกของ b
| ||||
• การหารจำนวนจริง
| ||||
บทนิยาม
|
เมื่อ a, b เป็นจำนวนจริงใดๆ เมื่อ b ≠ 0
| |||
| ||||
|
การแก้สมาการตัวแปรเดียว
บทนิยาม |
สมการพหุนามตัวแปรเดียว คือ สมการที่อยู่ในรูป
| |||
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0
| ||||
เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง ที่เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม โดยที่ an ≠ 0 เรียกสมการนี้ว่า "สมการพหุนามกำลัง n"
| ||||
ตัวอย่างเช่น
|
x3 - 2x2 + 3x -4 = 0
| |||
4x2 + 4x +1 = 0
| ||||
2x4 -5x3 -x2 +3x -1 = 0
| ||||
• การแ้ก้สมการพหุนามเมื่อ n > 2
| ||||
สมการพหุนามกำลัง n ซึ่งอยู่ในรูป anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0 = 0 เมื่อ n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง โดยที่ an ≠ 0 จะสามารถหาคำตอบของสมการพหุนามกำลัง n นี้ได้โดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือช่วยในการแยกตัวประกอบ
| ||||
ทฤษฎีบทเศษเหลือ
| ||||
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
| ||||
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
| ||||
ถ้าหารพหุนาม f(x) ด้วยพหุนาม x - c เมื่อ c เป็นค่าคงตัวใดๆแล้ว เศษของ
| ||||
การหารจะมีค่าเท่ากับ f(c)
| ||||
| ||||
ทฤษฎีบทตัวประกอบ
| ||||
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
| ||||
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
| ||||
พหุนาม f(x) นี้จะมี x - c เป็นตัวประกอบ ก็ต่อเมื่อ f(c) = 0
| ||||
| ||||
แสดงว่า x - c หาร f(c) ได้ลงตัว
| ||||
นั่นคือ x - c เป็นตัวประกอบของ f(x)
| ||||
ทฤษฎีบทตัวประกอบจำนวนตรรกยะ
| ||||
เมื่อ f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + … + a1x + a0
| ||||
โดย n > 2 และ an, an-1, an-2 ,..., a1, a0 เป็นจำนวนจริง และ an ≠ 0
| ||||
ซึ่ง m ≠ 0 และ ห.ร.ม. ของ m และ k เท่ากับ 1 แล้ว
| ||||
(1) m จะเป็นตัวประกอบของ an
| ||||
(2) k จะเป็นตัวประกอบของ a0
| ||||
ขั้นตอนการหาคำตอบของสมการโดยใช้ทฤษฎีบทเศษเหลือ มีดังนี้
| ||||
1. ถ้า an = 1 ให้หาตัวประกอบ c ของ a0 และตัวประกอบ m ของ an ที่ทำให้
| ||||
| ||||
จะเป็นพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่าดีกรีของ f(x) อยู่ 1
| ||||
3. ถ้าผลหารในข้อ 2. ยังมีดีกรีสูงกว่า 2 ให้แยกตัวประกอบต่อไปอีก โดยใช้วิธีตามข้อ 1. และ 2.
| ||||
-------------------------------------------------------------------
| ||||
ตัวอย่างที่ 1
|
จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 2x2 - x + 2= 0
| |||
วิธีทำ
|
ให้ f(x) = x3 - 2x2 - x + 2
| |||
∴ f(1) = 1 - 2 -1 + 2 = 0
| ||||
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
| ||||
| ||||
x3 - 2x2 - x + 2 = (x-1)(x2 - x - 2)
| ||||
= (x-1)(x-2)(x+1)
| ||||
x3 - 2x2 - x + 2 = 0
| ||||
(x-1)(x-2)(x+1) = 0
| ||||
x = 1, 2, -1
| ||||
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 1, 2}
| ||||
-------------------------------------------------------------------
| ||||
ตัวอย่างที่ 2
|
จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
| |||
วิธีทำ
|
ให้ f(x) = x3 - 10x2 + 27x -18
| |||
∴ f(1) = 1 - 10 + 27 -18 = 0
| ||||
∴ x - 1 เป็นตัวประกอบของ f(x)
| ||||
∴ x3 - 10x2 + 27x -18 = (x-1)(x2 - 9x + 18)
| ||||
= (x-1)(x-3)(x-6)
| ||||
x3 - 10x2 + 27x -18 = 0
| ||||
(x - 1) (x - 3) (x - 6) = 0
| ||||
x = 1, 3, 6
| ||||
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {1, 3, 6}
| ||||
-------------------------------------------------------------------
| ||||
ตัวอย่างที่ 3
|
จงหาเซตคำตอบของสมการ x3 - x2 - 5x -3 = 0
| |||
วิธีทำ
|
ให้ f(x) = x3 - x2 - 5x -3
| |||
∴ f(3) = 33 -32 -5(3) - 3= 0
| ||||
= 27 - 9 - 15 - 3
| ||||
= 0
| ||||
∴ x - 3 เป็นตัวประกอบของ f(x)
| ||||
∴ x3 - x2 - 5x -3 = (x-3)(x2 + 2x + 1)
| ||||
= (x-3)(x+1)(x+1)
| ||||
x3 - x2 - 5x - 3 = 0
| ||||
(x-3)(x+1)(x+1) = 0
| ||||
x = 3, -1
| ||||
∴เซตคำตอบของสมการนี้คือ {-1, 3}
|
ไม่มีความคิดเห็น:
แสดงความคิดเห็น